Dokładnie dwie szóstki w pięciu rzutach kostką - wzór Bernoulliego

Krok 1. Parametry schematu. Sukces to „wypadła szóstka”. Rzuty są niezależne, w każdym prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo:

$n = 5, \qquad p = \frac{1}{6}, \qquad q = \frac{5}{6}.$

Krok 2. Jeden konkretny układ. Weźmy ciąg „szóstka, szóstka, nie-szóstka, nie-szóstka, nie-szóstka”. Z niezależności rzutów jego prawdopodobieństwo to

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1^2 \cdot 5^3}{6^5} = \frac{125}{7776}.$

Krok 3. Ile jest takich układów. Dwie szóstki mogą stać na dowolnych dwóch z pięciu miejsc: $\binom{5}{2} = 10$ sposobów. Każdy układ ma to samo prawdopodobieństwo, więc

$P(S_5 = 2) = \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 10 \cdot \frac{125}{7776} = \frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888}.$

Krok 4. Przybliżenie. $\tfrac{625}{3888} \approx 0{,}161$.

Pułapka. Samo $\left(\tfrac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\tfrac{5}{6}\right)^3 \approx 0{,}016$ to prawdopodobieństwo jednego ustawienia (szóstki w dwóch pierwszych rzutach). Bez czynnika $\binom{5}{2}$ wynik jest dziesięć razy za mały.

Odpowiedź. $P(S_5 = 2) = \dfrac{625}{3888} \approx 0{,}161$.