Co najmniej jedna szóstka w czterech rzutach - zdarzenie przeciwne

Krok 1. Parametry. Schemat Bernoulliego: $n = 4$, sukces to szóstka, $p = \tfrac{1}{6}$, $q = \tfrac{5}{6}$.

Krok 2. Zdarzenie przeciwne. „Co najmniej jedna szóstka” to suma czterech przypadków ($1, 2, 3$ albo $4$ szóstki). Prościej policzyć przeciwne: $A'$ - „ani razu nie wypadła szóstka”, czyli zero sukcesów:

$P(A') = P(S_4 = 0) = \binom{4}{0} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}.$

Krok 3. Wynik.

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0{,}518.$

Krok 4. Czy zakład jest korzystny. $P(A) > \tfrac{1}{2}$, więc przy równych stawkach wygrywamy częściej, niż przegrywamy - zakład jest (nieznacznie) korzystny. Właśnie na tym zarabiał w XVII wieku kawaler de Méré, którego pytania do Pascala uznaje się za początek rachunku prawdopodobieństwa.

Pułapka. Rachunek „$4 \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{3}$” jest błędny: dodaje prawdopodobieństwa zdarzeń, które nie są rozłączne (szóstka może wypaść w kilku rzutach naraz). Przy sześciu rzutach ten „wzór” dałby nawet $1$, czyli pewność - a przecież można rzucić sześć razy bez szóstki.

Odpowiedź. $P(A) = \dfrac{671}{1296} \approx 0{,}518$; zakład jest korzystny.