Test strzelany na ślepo: co najmniej 3 dobre odpowiedzi z 5

Krok 1. Parametry. Każde pytanie to niezależna próba; sukces - trafiona odpowiedź: $n = 5$, $p = \tfrac{1}{4}$, $q = \tfrac{3}{4}$. Mianowniki będą potęgami czwórki, więc wspólny mianownik to $4^5 = 1024$.

Krok 2. Rozpisujemy „co najmniej trzy”.

$P(S_5 \ge 3) = P(S_5 = 3) + P(S_5 = 4) + P(S_5 = 5).$

Krok 3. Liczymy każdy składnik.

$P(S_5 = 3) = \binom{5}{3} \cdot \frac{1^3 \cdot 3^2}{4^5} = 10 \cdot \frac{9}{1024} = \frac{90}{1024}$

$P(S_5 = 4) = \binom{5}{4} \cdot \frac{1^4 \cdot 3^1}{4^5} = 5 \cdot \frac{3}{1024} = \frac{15}{1024}$

$P(S_5 = 5) = \frac{1}{4^5} = \frac{1}{1024}$

Krok 4. Suma.

$P(S_5 \ge 3) = \frac{90 + 15 + 1}{1024} = \frac{106}{1024} = \frac{53}{512} \approx 0{,}104.$

Zgadywanie daje więc zaliczenie mniej więcej raz na dziesięć prób.

Pułapka. Dodanie tylko $P(S_5 = 3)$ (bo „trzy wystarczą”) pomija lepsze wyniki - też zaliczające. Z kolei liczenie przez dopełnienie wymagałoby tu trzech składników ($k = 0, 1, 2$), więc nic by nie skróciło.

Odpowiedź. $P(S_5 \ge 3) = \dfrac{53}{512} \approx 0{,}104$.