Dokładnie 3 orły w 6 rzutach monetą - schemat Bernoulliego

Krok 1. Sprawdzamy, czy to schemat Bernoulliego. Każdy rzut to osobna próba o dwóch wynikach: orzeł (sukces) albo reszka (porażka). Próby są niezależne, a prawdopodobieństwo sukcesu w każdej jest takie samo. Mamy więc schemat Bernoulliego z parametrami

$n = 6, \qquad p = \frac{1}{2}, \qquad q = 1 - p = \frac{1}{2}.$

Krok 2. Wzór Bernoulliego dla $k = 3$.

$P(S_6 = 3) = \binom{6}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 20 \cdot \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}.$

Symbol $\binom{6}{3} = \tfrac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$ liczy, na ilu miejscach (spośród sześciu rzutów) mogą stać trzy orły.

Krok 3. Sprawdzenie zliczaniem. Wszystkich ciągów sześciu rzutów jest $|\Omega| = 2^6 = 64$ i są jednakowo prawdopodobne. Ciąg z trzema orłami wyznacza wybór trzech miejsc na orły, więc takich ciągów jest $\binom{6}{3} = 20$. Z definicji klasycznej $P = \tfrac{20}{64} = \tfrac{5}{16}$

• ten sam wynik.

Pułapka. Odpowiedź $\tfrac{1}{2}$ („trzy z sześciu to połowa”) jest błędna - „dokładnie połowa orłów” to tylko jeden z siedmiu możliwych wyników ($0, 1, \ldots, 6$ orłów). Najczęstszy, ale wcale nie pewny.

Odpowiedź. $P(S_6 = 3) = \dfrac{5}{16} = 0{,}3125$, czyli około $31\%$.