Rzuty karne: 4 czy 5 goli na 5 strzałów? Schemat Bernoulliego

Krok 1. Parametry. Schemat Bernoulliego: $n = 5$, sukces to gol, $p = 0{,}75 = \tfrac{3}{4}$, $q = \tfrac{1}{4}$.

Krok 2. Dokładnie 4 gole. Jedno pudło może przypaść na dowolny z pięciu strzałów:

$P(S_5 = 4) = \binom{5}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 \cdot \frac{1}{4} = 5 \cdot \frac{81}{256} \cdot \frac{1}{4} = \frac{405}{1024} \approx 0{,}396.$

Krok 3. Pięć goli. Wszystkie strzały celne - jest tylko jeden taki układ:

$P(S_5 = 5) = \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \frac{243}{1024} \approx 0{,}237.$

Bardziej prawdopodobne jest dokładnie $4$ gole - choć każdy pojedynczy strzał jest raczej celny, „seria bez pudła” wymaga szczęścia pięć razy z rzędu, a jedno pudło może się zdarzyć na pięć sposobów.

Krok 4. Co najmniej 4 gole. Zdarzenia „dokładnie 4” i „dokładnie 5” są rozłączne, więc dodajemy:

$P(S_5 \ge 4) = \frac{405}{1024} + \frac{243}{1024} = \frac{648}{1024} = \frac{81}{128} \approx 0{,}633.$

Odpowiedź. a) $P(S_5 = 4) = \dfrac{405}{1024} \approx 0{,}396$, $P(S_5 = 5) = \dfrac{243}{1024} \approx 0{,}237$ - bardziej prawdopodobne są $4$ gole. b) $P(S_5 \ge 4) = \dfrac{81}{128} \approx 0{,}633$.