Losowanie kul ze zwracaniem - więcej białych niż czarnych (Bernoulli)

Krok 1. Dlaczego to schemat Bernoulliego. Po każdym losowaniu kula wraca, więc skład urny się nie zmienia: w każdym losowaniu $P(\text{biała}) = \tfrac{3}{5}$, niezależnie od poprzednich. Sukces - biała kula: $n = 4$, $p = \tfrac{3}{5}$, $q = \tfrac{2}{5}$.

Krok 2. Kiedy białych jest więcej. Na $4$ kule białych jest więcej niż czarnych przy $3$ białych ($3:1$) albo $4$ białych ($4:0$). Wynik $2:2$ to remis, nie przewaga.

Krok 3. Trzy białe.

$P(S_4 = 3) = \binom{4}{3} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^3 \cdot \frac{2}{5} = 4 \cdot \frac{27}{125} \cdot \frac{2}{5} = \frac{216}{625}.$

Krok 4. Cztery białe.

$P(S_4 = 4) = \left(\frac{3}{5}\right)^4 = \frac{81}{625}.$

Krok 5. Suma.

$P(S_4 \ge 3) = \frac{216}{625} + \frac{81}{625} = \frac{297}{625} = 0{,}4752.$

Uwaga: bez zwracania to inne zadanie. Gdyby wylosowane kule nie wracały, po każdym losowaniu zmieniałby się skład urny, a z nim prawdopodobieństwo białej kuli - próby nie byłyby niezależne i wzoru Bernoulliego nie wolno byłoby użyć. (Wtedy cztery kule z pięciu to $\binom{5}{4} = 5$ jednakowo prawdopodobnych zestawów, a przewagę białych daje każdy, który zawiera wszystkie $3$ białe: $\tfrac{2}{5}$.)

Odpowiedź. $P = \dfrac{297}{625} = 0{,}4752$.