Wadliwe żarówki: co najwyżej jedna wadliwa z sześciu - Bernoulli

Krok 1. Co jest sukcesem. W schemacie Bernoulliego „sukces” to po prostu zdarzenie, które liczymy - tu: żarówka jest wadliwa. Zatem $n = 6$, $p = 0{,}1$, $q = 0{,}9$.

Krok 2. Rozpisujemy „co najwyżej jedna”. To znaczy: zero wadliwych albo dokładnie jedna wadliwa. Zdarzenia są rozłączne:

$P(S_6 \le 1) = P(S_6 = 0) + P(S_6 = 1).$

Krok 3. Zero wadliwych.

$P(S_6 = 0) = 0{,}9^6 = 0{,}531441.$

Krok 4. Dokładnie jedna wadliwa.

$P(S_6 = 1) = \binom{6}{1} \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^5 = 6 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}59049 = 0{,}354294.$

Krok 5. Suma.

$P(S_6 \le 1) = 0{,}531441 + 0{,}354294 = 0{,}885735 \approx 0{,}886.$

Pułapka. „Co najwyżej jedna” to nie to samo co „dokładnie jedna” - pominięcie przypadku zera wadliwych daje tylko $0{,}354$. Przy okazji: zdarzenie przeciwne, „co najmniej dwie wadliwe”, ma prawdopodobieństwo $1 - 0{,}885735 = 0{,}114265$.

Odpowiedź. $P(S_6 \le 1) = 0{,}885735 \approx 0{,}886$.