Stożek przecięty w połowie wysokości - stosunek objętości części 1 : 7

Krok 1. Odcięty stożek jest podobny. Mały stożek nad płaszczyzną ma ten sam wierzchołek i te same tworzące co cały stożek, a jego podstawa jest równoległa do dużej. Z twierdzenia Talesa jego wysokość i promień są dwa razy mniejsze: skala $k = \frac{1}{2}$.

Krok 2. Objętość małego stożka.

$V_{\text{mały}} = k^3 \cdot V = \frac{1}{8} \cdot 96\pi = 12\pi.$

Krok 3. Objętość stożka ściętego.

$V_{\text{ścięty}} = 96\pi - 12\pi = 84\pi, \qquad \frac{V_{\text{mały}}}{V_{\text{ścięty}}} = \frac{12\pi}{84\pi} = \frac{1}{7}.$

Krok 4. Pole przekroju. Przekrój jest podstawą małego stożka, a pola rosną z $k^2$:

$\frac{P_{\text{przekroju}}}{P_{\text{podstawy}}} = k^2 = \frac{1}{4}.$

Odpowiedź. Części mają objętości $12\pi$ (mały stożek) i $84\pi$ (stożek ścięty), w stosunku $1 : 7$; pole przekroju to $\frac{1}{4}$ pola podstawy.

Pułapka. Przecięcie „w połowie wysokości” nie dzieli objętości na połowy - górna część ma tylko $\frac{1}{8}$ objętości. Lekcja: bryły podobne.