Ostrosłup przecięty płaszczyzną równoległą do podstawy - wielościany podobne

Krok 1. Odcięty ostrosłup jest podobny do całego. Płaszczyzna równoległa do podstawy tnie krawędzie boczne w tym samym stosunku (twierdzenie Talesa w każdej ścianie bocznej), więc mały ostrosłup przy wierzchołku jest podobny do całego. Jego wysokość to $\frac{2}{3}$ wysokości całego: skala $k = \frac{2}{3}$.

Krok 2. Pole przekroju. Przekrój to podstawa małego ostrosłupa - kwadrat o boku $\frac{2}{3} \cdot 6 = 4$:

$P_{\text{przekroju}} = 16 = k^2 \cdot 36.$

Krok 3. Objętość małego ostrosłupa.

$V_{\text{mały}} = k^3 \cdot 54 = \frac{8}{27} \cdot 54 = 16.$

Sprawdzenie wprost: wysokość całego to $H = \frac{3 \cdot 54}{36} = 4{,}5$, małego $\frac{2}{3} \cdot 4{,}5 = 3$, więc $V_{\text{mały}} = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 3 = 16$.

Krok 4. Ostrosłup ścięty.

$V_{\text{ścięty}} = 54 - 16 = 38.$

Odpowiedź. Pole przekroju wynosi $16$, mały ostrosłup ma objętość $16$, a ostrosłup ścięty $38$ (stosunek $8 : 19$).

Zasada $k^2$ dla pól i $k^3$ dla objętości działa dla wszystkich brył podobnych - wielościanów i brył obrotowych. Ostrosłupy omawia strona ostrosłupy - wzory, a podobieństwo lekcja bryły podobne.