Pola powierzchni dwóch kul są w stosunku 4 : 9 - stosunek objętości

Krok 1. Każde dwie kule są podobne. Kula ma jeden wymiar - promień - więc dwie kule są zawsze podobne w skali $k = \frac{R_2}{R_1}$.

Krok 2. Skala z pól. Pola są w stosunku $k^2$:

$k^2 = \frac{9}{4} \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{3}{2}.$

Krok 3. Stosunek objętości. Objętości są w stosunku $k^3$:

$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}.$

Krok 4. Objętość większej kuli.

$V_2 = \frac{27}{8} \cdot 36\pi = 121{,}5\pi.$

Sprawdzenie: $\frac{4}{3}\pi R_1^3 = 36\pi$ daje $R_1 = 3$, więc $R_2 = 4{,}5$ i $\frac{4}{3}\pi \cdot 4{,}5^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 91{,}125 = 121{,}5\pi$.

Odpowiedź. Objętości są w stosunku $8 : 27$, a większa kula ma objętość $121{,}5\pi$.

Droga od pól do objętości zawsze idzie przez skalę: pierwiastek kwadratowy ze stosunku pól, potem trzecia potęga. Lekcja: bryły podobne.