Stożki podobne o wysokościach 6 i 9 - stosunek objętości i pól

Krok 1. Skala podobieństwa. Odpowiadające sobie odcinki (tu wysokości) są w stosunku

$k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}.$

Krok 2. Objętość. Objętości brył podobnych są w stosunku $k^3$:

$V_2 = k^3 \cdot V_1 = \frac{27}{8} \cdot 128\pi = 432\pi.$

Krok 3. Pole powierzchni. Pola są w stosunku $k^2$:

$P_2 = k^2 \cdot P_1 = \frac{9}{4} \cdot 144\pi = 324\pi.$

Krok 4. Sprawdzenie. Większy stożek ma $r = 12$, $H = 9$, więc $l = \sqrt{144 + 81} = 15$:

$V_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 9 = 432\pi, \qquad P_2 = 144\pi + \pi \cdot 12 \cdot 15 = 324\pi.$

Odpowiedź. $V_2 = 432\pi$, $P_2 = 324\pi$.

Pułapka. Pomnożenie objętości przez $k = 1{,}5$ daje $192\pi$ - zamiast $3{,}375$ raza większej objętości wychodzi tylko półtora raza. Zasadę $k^2$ i $k^3$ omawia lekcja bryły podobne.