Wysokość czworościanu foremnego o krawędzi 6 - wyprowadzenie wzoru a√6/3

Krok 1. Spodek wysokości. Wszystkie krawędzie czworościanu foremnego są równe, więc odcinki $DA$, $DB$, $DC$ mają tę samą długość. Spodek $O$ wysokości jest jednakowo odległy od $A$, $B$, $C$ - to środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym $ABC$, czyli jego środek.

Krok 2. Promień R.

$R = |AO| = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}.$

Krok 3. Wysokość z trójkąta prostokątnego $AOD$ ($|AD| = 6$):

$H = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 - 12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.$

Krok 4. Wzór ogólny. Te same kroki dla krawędzi $a$:

$H = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Dla $a = 6$: $\frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$. $\checkmark$

Odpowiedź. Wysokość czworościanu foremnego o krawędzi $6$ jest równa $2\sqrt{6}$; ogólnie $H = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.