Ostrosłup prawidłowy trójkątny - wysokość z krawędzi bocznej 10 i krawędzi podstawy 6√3

Krok 1. Promień okręgu opisanego na podstawie. Spodek wysokości $O$ to środek trójkąta równobocznego, a $|OA| = R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$:

$R = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{18}{3} = 6.$

Krok 2. Wysokość ostrosłupa. Trójkąt $SOC$ jest prostokątny, $|SC| = 10$, $|OC| = 6$:

$H = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8.$

Krok 3. Wysokość ściany bocznej. Promień okręgu wpisanego w podstawę to połowa $R$: $r = |OE| = 3$. Z trójkąta prostokątnego $SOE$:

$h = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{73}.$

Sprawdzenie w ścianie $SAB$: połowa krawędzi podstawy to $3\sqrt{3}$, więc $h^2 + (3\sqrt{3})^2 = 73 + 27 = 100 = 10^2$. $\checkmark$

Odpowiedź. Wysokość ostrosłupa jest równa $8$, a wysokość ściany bocznej $\sqrt{73}$.