Ostrosłup prawidłowy trójkątny - spodek wysokości, krawędź boczna i wysokość ściany

Krok 1. Gdzie jest spodek wysokości. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym spodek $O$ to środek trójkąta równobocznego - punkt przecięcia jego wysokości. Dzieli on każdą wysokość trójkąta w stosunku $2 : 1$ (licząc od wierzchołka). Wysokość podstawy:

$h_p = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.$

Krok 2. Promienie R i r. Odległość $O$ od wierzchołka to promień okręgu opisanego, a od boku - promień okręgu wpisanego:

$R = |OA| = \frac{2}{3} h_p = 2\sqrt{3}, \qquad r = |OE| = \frac{1}{3} h_p = \sqrt{3}.$

Krok 3. Krawędź boczna z trójkąta prostokątnego $SOC$ (dokładnie tak samo $SOA$, $SOB$):

$b = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{25 + 12} = \sqrt{37}.$

Krok 4. Wysokość ściany bocznej z trójkąta prostokątnego $SOE$, gdzie $E$ to środek $AB$:

$h = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{25 + 3} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.$

Sprawdzenie w ścianie $SAB$: $h^2 + 3^2 = 28 + 9 = 37 = b^2$. $\checkmark$

Odpowiedź. Krawędź boczna ma długość $\sqrt{37}$, a wysokość ściany bocznej $2\sqrt{7}$.