Czy istnieje ostrosłup o 15 krawędziach? Ostrosłup o 10 wierzchołkach

Szkoła średnia łatwe

a) Czy istnieje ostrosłup, który ma $15$ krawędzi?

b) Ostrosłup ma $10$ wierzchołków. Ile ma krawędzi, a ile ścian?

c) Podstawy graniastosłupa i ostrosłupa są tym samym $n$ -kątem. Obie bryły mają razem $40$ krawędzi. Wyznacz $n$ .

Ostrosłup pięciokątny ma 2 · 5 = 10 krawędzi, 5 + 1 = 6 wierzchołków i 5 + 1 = 6 ścian.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Dla ostrosłupa o podstawie $n$ -kąta: $K = 2n$ , $W = n + 1$ , $S = n + 1$ . Dla graniastosłupa: $K = 3n$ .

Krok 1. Podpunkt a). Liczba krawędzi ostrosłupa $2n$ jest zawsze parzysta, a $15$ jest nieparzysta. Taki ostrosłup nie istnieje.

Krok 2. Podpunkt b). $n + 1 = 10$ , więc $n = 9$ - to ostrosłup dziewięciokątny. Ma $K = 2 \cdot 9 = 18$ krawędzi i $S = 9 + 1 = 10$ ścian.

Krok 3. Podpunkt c). Krawędzie obu brył razem:

$3n + 2n = 40 \quad\Longrightarrow\quad 5n = 40 \quad\Longrightarrow\quad n = 8.$

Sprawdzenie: graniastosłup ośmiokątny ma $24$ krawędzie, ostrosłup ośmiokątny $16$ , razem $40$ .

Odpowiedź. a) Nie istnieje, bo liczba krawędzi ostrosłupa jest parzysta. b) $18$ krawędzi i $10$ ścian. c) $n = 8$ .