Ścieżka wokół trawnika 20 m × 12 m o polu 144 m² - jaka jest jej szerokość?

Krok 1. Wymiary zewnętrznego prostokąta. Niech $x$ oznacza szerokość ścieżki w metrach, $x > 0$. Ścieżka dokłada $x$ z obu stron, więc trawnik ze ścieżką ma wymiary

$(20 + 2x) \times (12 + 2x).$

Krok 2. Równanie. Pole ścieżki to pole dużego prostokąta minus pole trawnika ($20 \cdot 12 = 240$):

$(20 + 2x)(12 + 2x) - 240 = 144.$

Krok 3. Porządkujemy. Wymnażamy nawias: $240 + 40x + 24x + 4x^2 - 240 = 144$, czyli

$4x^2 + 64x - 144 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 16x - 36 = 0.$

Krok 4. Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$\Delta = 16^2 + 4 \cdot 36 = 256 + 144 = 400, \qquad \sqrt{\Delta} = 20,$

$x_1 = \frac{-16 - 20}{2} = -18, \qquad x_2 = \frac{-16 + 20}{2} = 2.$

Szerokość nie może być ujemna, więc $x = 2\ \text{m}$.

Krok 5. Sprawdzenie. Zewnętrzny prostokąt ma wymiary $24 \times 16$ i pole $384$, a $384 - 240 = 144$ - zgadza się.

Krok 6. Liczba kostek. Zamieniamy pole ścieżki na $\text{cm}^2$ ($1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$):

$144\ \text{m}^2 = 1\,440\,000\ \text{cm}^2, \qquad 1\,440\,000 : 200 = 7200.$

Uwaga. Częsty błąd to wymiary $(20 + x) \times (12 + x)$ - jakby ścieżka biegła tylko z dwóch stron. Daje to równanie $x^2 + 32x - 144 = 0$ i fałszywy wynik $x = -16 + 20 = 4\ \text{m}$.

Odpowiedź. a) Ścieżka ma szerokość $2\ \text{m}$; b) zużyto $7200$ kostek.