Pole czworokąta o prostopadłych przekątnych 14 i 9 - wzór ½ · d₁ · d₂

Szkoła średnia średnie

Przekątne czworokąta wypukłego $ABCD$ są prostopadłe i przecinają się w punkcie $S$ . Wiadomo, że $|AS| = 4$ , $|SC| = 10$ , $|BS| = 3$ i $|SD| = 6$ . Oblicz pole czworokąta. Czy wynik zależałby od tego, w którym miejscu przekątne się przecinają?

Czworokąt ABCD o prostopadłych przekątnych: |AC| = 4 + 10 = 14, |BD| = 3 + 6 = 9. Nie jest ani rombem, ani deltoidem.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Długości przekątnych.

$|AC| = 4 + 10 = 14, \qquad |BD| = 3 + 6 = 9.$

Krok 2. Podział na dwa trójkąty. Przekątna $AC$ dzieli czworokąt na trójkąty $ABC$ i $ACD$ . Oba mają podstawę $AC$ , a ich wysokościami są odcinki $BS$ i $SD$ - bo $BD \perp AC$ :

$P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 3 = 21, \qquad P_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 6 = 42.$

Krok 3. Pole czworokąta.

$P = 21 + 42 = 63.$

Krok 4. Wzór ogólny. Ten sam rachunek z literami:

$P = \frac{1}{2}|AC| \cdot |BS| + \frac{1}{2}|AC| \cdot |SD| = \frac{1}{2}|AC| \cdot (|BS| + |SD|) = \frac{1}{2}|AC| \cdot |BD|.$

Sprawdzenie: $\frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 9 = 63$ . Położenie punktu $S$ w ogóle nie występuje we wzorze - liczy się tylko to, że przekątne są prostopadłe, i ich długości.

Uwaga. Wzór $P = \frac{1}{2} d_1 d_2$ znamy z rombu i deltoidu, ale działa dla każdego czworokąta wypukłego o prostopadłych przekątnych. Nie stosuj go natomiast do prostokąta czy zwykłego równoległoboku - tam przekątne na ogół nie są prostopadłe.

Odpowiedź. Pole czworokąta wynosi $63$ . Nie zależy od miejsca przecięcia przekątnych - przy prostopadłych przekątnych $14$ i $9$ zawsze $P = \frac{14 \cdot 9}{2} = 63$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →