Pole rombu o obwodzie 40 i kącie rozwartym 150° - wzór z sinusem

Krok 1. Bok rombu. Romb ma cztery równe boki, więc

$a = \frac{40}{4} = 10.$

Krok 2. Wzór na pole z sinusem. Romb jest równoległobokiem, a pole równoległoboku o bokach $a$ i $b$ i kącie $\alpha$ między nimi to $P = ab\sin\alpha$. W rombie $a = b$, więc

$P = a^2 \sin\alpha.$

Krok 3. Który kąt wstawić? Kąty sąsiednie rombu sumują się do $180^\circ$, więc kąt ostry ma $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Oba dają ten sam sinus, bo $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$:

$\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.$

Krok 4. Pole.

$P = 10^2 \cdot \frac{1}{2} = 50.$

Krok 5. Wysokość. Romb to równoległobok, więc $P = a \cdot h$:

$h = \frac{P}{a} = \frac{50}{10} = 5.$

Ten sam wynik widać na rysunku: wysokość $h$ jest przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta $30^\circ$ w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej $|AD| = 10$, więc $h = 10 \cdot \sin 30^\circ = 5$.

Uwaga. Do wzoru $P = a^2\sin\alpha$ wolno wstawić dowolny kąt rombu - ostry albo rozwarty - bo mają równe sinusy. Nie wolno natomiast wstawić $\cos 150^\circ$ ani pomnożyć $a^2$ przez samą miarę kąta.

Odpowiedź. Pole rombu wynosi $50$, a jego wysokość $5$.