Pole czworokąta o wierzchołkach (−3, 1), (2, −2), (5, 3), (1, 5) w układzie współrzędnych

Krok 1. Prostokąt obrysowujący. Najmniejsza i największa pierwsza współrzędna to $-3$ i $5$, a druga: $-2$ i $5$. Prostokąt o bokach wzdłuż linii kratki ma wymiary $8 \times 7$:

$P_{\text{prost}} = 8 \cdot 7 = 56.$

Krok 2. Cztery trójkąty w narożnikach. Każdy wierzchołek czworokąta leży na innym boku prostokąta, więc poza czworokątem zostają cztery trójkąty prostokątne. Ich przyprostokątne odczytujemy z różnic współrzędnych:

$\text{przy } AB\!: \tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7{,}5, \quad \text{przy } BC\!: \tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7{,}5, \quad \text{przy } CD\!: \tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4, \quad \text{przy } DA\!: \tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8.$

Razem $7{,}5 + 7{,}5 + 4 + 8 = 27$.

Krok 3. Pole czworokąta.

$P_{ABCD} = 56 - 27 = 29.$

Krok 4. Sprawdzenie podziałem przekątną $AC$. Trójkąt $ABC$ leży w prostokącie $8 \times 5$ (od $y = -2$ do $y = 3$), z którego odcinamy trójkąty o polach $7{,}5$, $7{,}5$ i $\tfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 = 8$:

$P_{ABC} = 40 - 23 = 17.$

Trójkąt $ACD$ leży w prostokącie $8 \times 4$ (od $y = 1$ do $y = 5$), a odcinamy $8$, $4$ i $8$:

$P_{ACD} = 32 - 20 = 12.$

Suma $17 + 12 = 29$ - zgadza się z krokiem 3.

Krok 5. Pole w terenie. Jednostka planu to $2\ \text{m}$, więc kwadrat jednostkowy (pole $1$) odpowiada w terenie kwadratowi $2\ \text{m} \times 2\ \text{m}$, czyli $4\ \text{m}^2$:

$P_{\text{ogródka}} = 29 \cdot 4 = 116\ \text{m}^2.$

Uwaga. Najczęstszy błąd w części b) to pomnożenie pola przez $2$ (wynik $58\ \text{m}^2$). Skala dotyczy długości, a pole zależy od dwóch wymiarów, więc mnożymy przez $2^2 = 4$.

Odpowiedź. a) $P_{ABCD} = 29$; b) ogródek ma powierzchnię $116\ \text{m}^2$.