Pierwiastki wymierne 6x³ − 19x² + 11x + 6 - całkowity i dwa ułamkowe

Krok 1. Kandydaci. Licznik $p$ dzieli wyraz wolny $6$, mianownik $q$ dzieli współczynnik przy $x^3$, czyli też $6$:

$p \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}, \qquad q \in \{1, 2, 3, 6\}.$

Po skróceniu ułamków i usunięciu powtórzeń zostaje

$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6,\ \pm \tfrac{1}{2},\ \pm \tfrac{3}{2},\ \pm \tfrac{1}{3},\ \pm \tfrac{2}{3},\ \pm \tfrac{1}{6}.$

Krok 2. Najpierw liczby całkowite.

$W(1) = 6 - 19 + 11 + 6 = 4, \qquad W(-1) = -6 - 19 - 11 + 6 = -30,$

$W(2) = 48 - 76 + 22 + 6 = 0.$

Krok 3. Dzielimy przez $x - 2$:

$W(x) = (x - 2)(6x^2 - 7x - 3).$

Krok 4. Trójmian - delta zamiast dalszego zgadywania. Po znalezieniu jednego pierwiastka nie sprawdzamy reszty listy, tylko rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$\Delta = 49 + 72 = 121, \qquad x_1 = \frac{7 - 11}{12} = -\frac{1}{3}, \qquad x_2 = \frac{7 + 11}{12} = \frac{3}{2}.$

Oba wyniki są na liście kandydatów z kroku 1. Rozkład: $6x^2 - 7x - 3 = 6\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x - \frac{3}{2}\right) = (3x + 1)(2x - 3)$.

Odpowiedź. Pierwiastki: $-\frac{1}{3}$, $\frac{3}{2}$, $2$; $\ W(x) = (x - 2)(3x + 1)(2x - 3)$.