Pierwiastki całkowite wielomianu W(x) = x³ + 2x² − 5x − 6

Krok 1. Lista kandydatów. Współczynniki są całkowite, a przy $x^3$ stoi $1$, więc każdy pierwiastek wymierny jest całkowity i dzieli wyraz wolny $-6$:

$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6.$

Krok 2. Sprawdzamy najprostszych kandydatów. $W(1)$ to suma współczynników:

$W(1) = 1 + 2 - 5 - 6 = -8 \neq 0, \qquad W(-1) = -1 + 2 + 5 - 6 = 0.$

Liczba $-1$ jest pierwiastkiem, więc $W$ dzieli się przez $x + 1$.

Krok 3. Dzielimy schematem Hornera z $a = -1$:

$W(x) = (x + 1)(x^2 + x - 6).$

Krok 4. Rozkładamy trójmian. $\Delta = 1 + 24 = 25$, $\sqrt{\Delta} = 5$:

$x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3, \qquad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2.$

Obie liczby są na liście z kroku 1 - tak musi być.

Odpowiedź. Pierwiastki: $-3$, $-1$, $2$; $\ W(x) = (x + 3)(x + 1)(x - 2)$.