Wykaż, że wielomian 2x³ − 3x + 2 nie ma pierwiastków wymiernych

Krok 1. Twierdzenie daje skończoną listę. Współczynniki są całkowite. Jeśli $\frac{p}{q}$ (ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem, to $p$ dzieli wyraz wolny $2$, a $q$ dzieli współczynnik przy $x^3$, czyli też $2$. Kandydaci:

$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm \tfrac{1}{2}.$

Pierwiastek wymierny, jeśli istnieje, musi być jedną z tych sześciu liczb. Wystarczy więc sprawdzić każdą.

Krok 2. Liczby całkowite.

$W(1) = 2 - 3 + 2 = 1, \qquad W(-1) = -2 + 3 + 2 = 3,$

$W(2) = 16 - 6 + 2 = 12, \qquad W(-2) = -16 + 6 + 2 = -8.$

Krok 3. Ułamki. $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$, więc

$W\left(\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{4} - \tfrac{3}{2} + 2 = \tfrac{3}{4}, \qquad W\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{2} + 2 = \tfrac{13}{4}.$

Krok 4. Wniosek. Żaden z sześciu kandydatów nie daje zera, a innych pierwiastków wymiernych być nie może. Zatem $W$ nie ma pierwiastków wymiernych.

Krok 5. Pierwiastek rzeczywisty istnieje. Z kroku 2: $W(-2) = -8 < 0$ i $W(-1) = 3 > 0$. Wielomian jest funkcją ciągłą, więc między $-2$ a $-1$ jego wykres przecina oś $OX$ (twierdzenie o wartości pośredniej). Ten pierwiastek nie jest wymierny - jest więc niewymierny (w przybliżeniu $-1{,}48$).

Uwaga: „brak pierwiastków wymiernych” i „brak pierwiastków” to dwie różne rzeczy. Wielomian stopnia nieparzystego zawsze ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Odpowiedź. Żaden z kandydatów $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm \frac{1}{2}$ nie jest pierwiastkiem, więc $W$ nie ma pierwiastków wymiernych. Ma pierwiastek niewymierny w przedziale $(-2;\ -1)$.