Kandydaci p/q i pierwiastki wymierne: W(x) = 3x³ − 4x² − 5x + 2

Krok 1. Dzielniki. Pierwiastek wymierny $\frac{p}{q}$ (ułamek nieskracalny) ma licznik dzielący wyraz wolny $2$ i mianownik dzielący współczynnik przy $x^3$, czyli $3$:

$p \in \{\pm 1,\ \pm 2\}, \qquad q \in \{1,\ 3\}.$

Krok 2. Kandydaci. Wszystkie ilorazy $\frac{p}{q}$:

$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm \tfrac{1}{3},\ \pm \tfrac{2}{3}.$

Uwaga: współczynnik przy $x^3$ to $3$, więc ułamki muszą być na liście. Sprawdzenie samych liczb całkowitych mogłoby przegapić pierwiastek.

Krok 3. Sprawdzamy $1$ i $-1$.

$W(1) = 3 - 4 - 5 + 2 = -4, \qquad W(-1) = -3 - 4 + 5 + 2 = 0.$

Krok 4. Dzielimy przez $x + 1$ schematem Hornera:

$W(x) = (x + 1)(3x^2 - 7x + 2).$

Krok 5. Trójmian. $\Delta = 49 - 24 = 25$, $\sqrt{\Delta} = 5$:

$x_1 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{1}{3}, \qquad x_2 = \frac{7 + 5}{6} = 2.$

Stąd $3x^2 - 7x + 2 = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)(x - 2) = (3x - 1)(x - 2)$.

Odpowiedź. Kandydaci: $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm \frac{1}{3},\ \pm \frac{2}{3}$. Pierwiastki: $-1$, $\frac{1}{3}$, $2$, a $W(x) = (x + 1)(3x - 1)(x - 2)$.