Ułamkowe współczynniki: pierwiastki x⁴ − (7/2)x³ + x² + (7/2)x + 1

Krok 1. Pozbywamy się ułamków. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych działa tylko dla współczynników całkowitych. Mnożymy wielomian przez $2$ - pierwiastki się nie zmieniają, bo $2W(x) = 0$ dokładnie wtedy, gdy $W(x) = 0$:

$V(x) = 2W(x) = 2x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 7x + 2.$

Uwaga: wypisanie kandydatów wprost z $W$ (licznik dzieli $1$, mianownik dzieli $1$) dałoby tylko $\pm 1$ i zgubiłoby oba pierwiastki wymierne.

Krok 2. Kandydaci dla $V$. Licznik dzieli $2$, mianownik dzieli $2$:

$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm \tfrac{1}{2}.$

Krok 3. Szukamy pierwszego pierwiastka.

$V(1) = 2 - 7 + 2 + 7 + 2 = 6, \qquad V(-1) = 2 + 7 + 2 - 7 + 2 = 6,$

$V(2) = 32 - 56 + 8 + 14 + 2 = 0.$

Krok 4. Dzielimy przez $x - 2$:

$V(x) = (x - 2)(2x^3 - 3x^2 - 4x - 1).$

Krok 5. Szukamy dalej w ilorazie. Kandydaci dla $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 4x - 1$ to nadal $\pm 1,\ \pm \frac{1}{2}$. $\ P(1) = -6$, $P(-1) = -2$, a dla $-\frac{1}{2}$ liczymy schematem:

Kolejno: $2$; $\ -3 + \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 2 = -4$; $\ -4 + \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (-4) = -2$; $\ -1 + \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (-2) = 0$. Zatem

$P(x) = \left(x + \tfrac{1}{2}\right)(2x^2 - 4x - 2) = (2x + 1)(x^2 - 2x - 1).$

Krok 6. Ostatni czynnik. Dla $x^2 - 2x - 1$:

$\Delta = 4 + 4 = 8, \qquad \sqrt{\Delta} = 2\sqrt{2}, \qquad x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}.$

Tych dwóch pierwiastków nie było na liście kandydatów - i nie mogło być, bo są niewymierne.

Krok 7. Rozkład. $2W(x) = (x - 2)(2x + 1)(x^2 - 2x - 1)$, czyli

$W(x) = (x - 2)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\left(x - 1 - \sqrt{2}\right)\left(x - 1 + \sqrt{2}\right).$

Odpowiedź. Pierwiastki: $2$, $-\frac{1}{2}$, $1 - \sqrt{2}$, $1 + \sqrt{2}$. Wymierne są dwa: $2$ i $-\frac{1}{2}$.