Pierwiastki wielomianu czwartego stopnia: x⁴ − 2x³ − 7x² + 8x + 12

Krok 1. Kandydaci. Przy $x^4$ stoi $1$, więc pierwiastki wymierne są całkowite i dzielą $12$:

$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 4,\ \pm 6,\ \pm 12.$

Krok 2. Skróty $W(1)$ i $W(-1)$. $W(1)$ to suma współczynników, a $W(-1)$ to suma przy potęgach parzystych ($x^4$, $x^2$, wyraz wolny) minus suma przy nieparzystych:

$W(1) = 1 - 2 - 7 + 8 + 12 = 12, \qquad W(-1) = (1 - 7 + 12) - (-2 + 8) = 6 - 6 = 0.$

Krok 3. Dzielimy przez $x + 1$:

$W(x) = (x + 1)(x^3 - 3x^2 - 4x + 12).$

Krok 4. Iloraz rozkładamy grupowaniem. Nie trzeba kolejnego schematu - wystarczy pogrupować wyrazy parami:

$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = x^2(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 3)(x^2 - 4) = (x - 3)(x - 2)(x + 2).$

Gdyby grupowanie nie przyszło do głowy, dalej działa lista kandydatów: dzielniki $12$, a w niej np. $2$, bo $8 - 12 - 8 + 12 = 0$.

Odpowiedź. $W(x) = (x + 2)(x + 1)(x - 2)(x - 3)$, pierwiastki: $-2$, $-1$, $2$, $3$.