Równanie 2x³ + x² + x − 1 = 0 - jedyny pierwiastek to ułamek 1/2

Krok 1. Kandydaci. Oznaczmy $W(x) = 2x^3 + x^2 + x - 1$. Licznik $p$ dzieli $-1$, mianownik $q$ dzieli $2$, więc kandydaci na pierwiastki wymierne to

$\pm 1,\ \pm \tfrac{1}{2}.$

Krok 2. Liczby całkowite odpadają.

$W(1) = 2 + 1 + 1 - 1 = 3, \qquad W(-1) = -2 + 1 - 1 - 1 = -3.$

Uwaga: w tym miejscu łatwo uznać, że równanie „nie ma pierwiastków wymiernych”. Współczynnik przy $x^3$ to $2$, więc trzeba jeszcze sprawdzić ułamki.

Krok 3. Sprawdzamy $\frac{1}{2}$ od razu schematem Hornera - ostatnia liczba to $W\left(\frac{1}{2}\right)$:

Kolejno: $2$; $\ 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 2$; $\ 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 2$; $\ -1 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 0$. Liczba $\frac{1}{2}$ jest pierwiastkiem i

$W(x) = \left(x - \tfrac{1}{2}\right)(2x^2 + 2x + 2) = (2x - 1)(x^2 + x + 1).$

Krok 4. Czynnik kwadratowy. Dla $x^2 + x + 1$ mamy $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, więc ten czynnik nie ma pierwiastków (jest zawsze dodatni).

Krok 5. Równanie. Iloczyn jest zerem tylko wtedy, gdy $2x - 1 = 0$, czyli $x = \frac{1}{2}$.

Odpowiedź. $x = \frac{1}{2}$.