Rozwiąż trójkąt: a = 2√6, b = 6, α = 45° - dwa rozwiązania

Krok 1. Typ danych. Dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich - dane BBK. Bok naprzeciw znanego kąta jest krótszy od drugiego ($a = 2\sqrt{6} \approx 4{,}90 < b = 6$), a dłuższy od wysokości $b\sin\alpha = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24$ - spodziewamy się dwóch trójkątów.

Krok 2. Sinus kąta $\beta$ z twierdzenia sinusów:

$\sin\beta = \frac{b\sin\alpha}{a} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Krok 3. Dwa kąty o tym sinusie. $\beta_1 = 60^\circ$ albo $\beta_2 = 120^\circ$. Oba pasują: $45^\circ + 120^\circ = 165^\circ < 180^\circ$. Trzecie kąty:

$\gamma_1 = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ, \qquad \gamma_2 = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ = 15^\circ.$

Krok 4. Bok $c$ z twierdzenia cosinusów. Sinusów $75^\circ$ i $15^\circ$ nie ma w tabeli kątów szczególnych, za to twierdzenie cosinusów dla boku $a$ daje oba boki naraz:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad 24 = 36 + c^2 - 2 \cdot 6 \cdot c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2},$

$c^2 - 6\sqrt{2}\,c + 12 = 0, \qquad \Delta = 72 - 48 = 24, \qquad \sqrt{\Delta} = 2\sqrt{6},$

$c = \frac{6\sqrt{2} \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{2} \pm \sqrt{6}.$

Oba pierwiastki są dodatnie - potwierdzenie, że trójkąty są dwa.

Krok 5. Który bok do którego trójkąta. Naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok. W pierwszym trójkącie $\gamma_1 = 75^\circ$ - tam $c_1 = 3\sqrt{2} + \sqrt{6} \approx 6{,}69$. W drugim $\gamma_2 = 15^\circ$ jest najmniejszym kątem - tam $c_2 = 3\sqrt{2} - \sqrt{6} \approx 1{,}79$.

Uwaga: rozwiązanie „tylko $\beta = 60^\circ$” (bo tyle podaje kalkulator) gubi połowę odpowiedzi. Przy danych BBK zawsze sprawdzaj kąt $180^\circ - \beta$.

Odpowiedź. Są dwa trójkąty: $\beta = 60^\circ$, $\gamma = 75^\circ$, $c = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}$ albo $\beta = 120^\circ$, $\gamma = 15^\circ$, $c = 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$.