Rozwiąż trójkąt: a = 10, β = 30°, γ = 105° (bok i dwa kąty)

Krok 1. Typ danych i trzeci kąt. Znamy bok i dwa kąty przy nim - to dane KBK, więc zaczynamy od sumy kątów, a boki liczymy z twierdzenia sinusów:

$\alpha = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ.$

Krok 2. Wspólny stosunek z twierdzenia sinusów. Bok $a$ leży naprzeciw kąta $\alpha = 45^\circ$, którego sinus znamy:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}.$

Ten stosunek to $2R$, więc od razu mamy promień okręgu opisanego: $R = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$.

Krok 3. Bok $b$ (naprzeciw kąta $\beta = 30^\circ$):

$b = 10\sqrt{2} \cdot \sin 30^\circ = 10\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07.$

Krok 4. Bok $c$ bez sinusa $105^\circ$. Ze wzoru $c = 10\sqrt{2} \cdot \sin 105^\circ$ wyszedłby wynik przybliżony, bo $\sin 105^\circ$ nie ma w tabeli kątów szczególnych. Dokładną wartość daje wysokość $CD$ opuszczona na bok $AB$. Kąty przy $A$ i $B$ są ostre, więc spodek $D$ leży między $A$ i $B$. W trójkącie prostokątnym $BCD$ (kąt $30^\circ$ przy $B$):

$|CD| = 10 \cdot \sin 30^\circ = 5, \qquad |BD| = 10 \cdot \cos 30^\circ = 5\sqrt{3}.$

W trójkącie prostokątnym $ACD$ kąt przy $A$ ma $45^\circ$, więc jest on równoramienny: $|AD| = |CD| = 5$. Stąd

$c = |BD| + |AD| = 5\sqrt{3} + 5 = 5(\sqrt{3} + 1) \approx 13{,}66.$

Przy okazji: $|AC| = |CD| \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ - ten sam wynik co w kroku 3.

Kontrola. Kalkulator: $10\sqrt{2} \cdot \sin 105^\circ \approx 14{,}142 \cdot 0{,}9659 \approx 13{,}66$. Najdłuższy bok $c$ leży naprzeciw największego kąta $\gamma = 105^\circ$. Zgadza się.

Uwaga: stosunek $\frac{a}{\sin\alpha}$ jest równy $2R$, a nie $R$ - zapomniana dwójka to najczęstszy błąd przy promieniu okręgu opisanego.

Odpowiedź. $\alpha = 45^\circ$, $b = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$, $c = 5(\sqrt{3} + 1) \approx 13{,}66$, $R = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$.