Boki 5 i 8, pole 10√3 - oblicz trzeci bok i kąty (dwa trójkąty)

Krok 1. Sinus kąta między danymi bokami. Kąt $\alpha$ leży między bokami $b = 5$ i $c = 8$, więc z wzoru na pole:

$P = \frac{1}{2}bc\sin\alpha \quad\Longrightarrow\quad 10\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin\alpha = 20\sin\alpha \quad\Longrightarrow\quad \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Krok 2. Dwa kąty. W trójkącie kąt może być ostry albo rozwarty, a $\sin 60^\circ = \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Stąd $\alpha = 60^\circ$ albo $\alpha = 120^\circ$ - i to są dwa różne trójkąty o tym samym polu.

Krok 3. Przypadek $\alpha = 60^\circ$. Bok $a = |BC|$ z twierdzenia cosinusów:

$a^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49, \qquad a = 7.$

Kąt $\beta$ naprzeciw najkrótszego boku $b = 5$:

$\cos\beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{49 + 64 - 25}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{88}{112} = \frac{11}{14} \approx 0{,}7857, \qquad \beta \approx 38{,}21^\circ,$

a $\gamma \approx 180^\circ - 60^\circ - 38{,}21^\circ = 81{,}79^\circ$.

Krok 4. Przypadek $\alpha = 120^\circ$ ($\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, więc ostatni składnik zmienia znak):

$a^2 = 25 + 64 + 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 89 + 40 = 129, \qquad a = \sqrt{129} \approx 11{,}36.$

Kąt $\beta$ z twierdzenia sinusów - jest ostry, bo $\alpha$ jest rozwarty:

$\sin\beta = \frac{b\sin\alpha}{a} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{129}} \approx \frac{4{,}3301}{11{,}3578} \approx 0{,}3812, \qquad \beta \approx 22{,}41^\circ,$

a $\gamma \approx 180^\circ - 120^\circ - 22{,}41^\circ = 37{,}59^\circ$.

Uwaga: z równania $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ samo $\alpha = 60^\circ$ to połowa rozwiązania. Pole zależy od sinusa kąta, a sinus nie odróżnia kąta $\alpha$ od $180^\circ - \alpha$.

Odpowiedź. Są dwa trójkąty: $|BC| = 7$, $\alpha = 60^\circ$, $\beta \approx 38{,}21^\circ$, $\gamma \approx 81{,}79^\circ$ albo $|BC| = \sqrt{129} \approx 11{,}36$, $\alpha = 120^\circ$, $\beta \approx 22{,}41^\circ$, $\gamma \approx 37{,}59^\circ$.