Ile trójkątów: α = 60°, b = 10 i a = 7, 9, 12 albo 5√3? (przypadek niejednoznaczny)

Krok 1. Wzór na sinus szukanego kąta. Dane to dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich (BBK). Z twierdzenia sinusów:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \quad\Longrightarrow\quad \sin\beta = \frac{b\sin\alpha}{a} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{5\sqrt{3}}{a}.$

Licznik $5\sqrt{3} \approx 8{,}66$ to wysokość $h = b\sin\alpha$ opuszczona z $C$ na ramię kąta $\alpha$ - najkrótsza możliwa długość boku $a$.

Krok 2. a) $a = 7$. $\sin\beta = \frac{5\sqrt{3}}{7} \approx 1{,}2372 > 1$ - żaden kąt nie ma takiego sinusa. Bok $7$ jest krótszy od wysokości $8{,}66$, więc nie sięga drugiego ramienia kąta. Brak trójkąta.

Krok 3. b) $a = 9$. $\sin\beta = \frac{5\sqrt{3}}{9} \approx 0{,}9623$. Ten sinus mają dwa kąty:

$\beta_1 \approx 74{,}21^\circ \qquad\text{albo}\qquad \beta_2 = 180^\circ - \beta_1 \approx 105{,}79^\circ.$

Oba są dopuszczalne, bo $60^\circ + 105{,}79^\circ < 180^\circ$. Dwa trójkąty.

Kontrola twierdzeniem cosinusów: $81 = 100 + c^2 - 2 \cdot 10 \cdot c \cdot \frac{1}{2}$, czyli $c^2 - 10c + 19 = 0$. To równanie ma dwa pierwiastki dodatnie, $c = 5 \pm \sqrt{6}$ - dwa położenia punktu $B$ na rysunku.

Krok 4. c) $a = 12$. $\sin\beta = \frac{5\sqrt{3}}{12} \approx 0{,}7217$, więc $\beta \approx 46{,}19^\circ$ albo $\beta \approx 133{,}81^\circ$. Drugi kąt odpada: $60^\circ + 133{,}81^\circ > 180^\circ$. To widać też bez rachunku - $a > b$, więc kąt $\beta$ naprzeciw krótszego boku jest mniejszy od $\alpha$. Jeden trójkąt, $\beta \approx 46{,}19^\circ$.

Krok 5. d) $a = 5\sqrt{3}$. $\sin\beta = 1$, czyli $\beta = 90^\circ$. Bok $a$ jest równy wysokości - powstaje jeden trójkąt prostokątny.

Podsumowanie reguły (dla kąta ostrego $\alpha$ i wysokości $h = b\sin\alpha$): $a < h$ - brak trójkąta; $a = h$ - jeden prostokątny; $h < a < b$ - dwa trójkąty; $a \geq b$ - jeden.

Uwaga: równanie $\sin\beta = k$ (dla $0 < k < 1$) ma w przedziale $(0^\circ, 180^\circ)$ zawsze dwa rozwiązania: $\beta$ i $180^\circ - \beta$. Kalkulator podaje tylko ostre - drugie trzeba sprawdzić samodzielnie.

Odpowiedź. a) brak trójkąta; b) dwa trójkąty, $\beta \approx 74{,}21^\circ$ albo $\beta \approx 105{,}79^\circ$; c) jeden, $\beta \approx 46{,}19^\circ$; d) jeden, $\beta = 90^\circ$.