Rozwiąż trójkąt: b = 3, c = 8, α = 60° (dwa boki i kąt między nimi)

Krok 1. Typ danych. Dwa boki i kąt między nimi - dane BKB. Twierdzenie sinusów nic tu nie da (w każdym ułamku byłyby dwie niewiadome), zaczynamy od twierdzenia cosinusów.

Krok 2. Trzeci bok:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha = 9 + 64 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49, \qquad a = 7.$

Krok 3. Kąt $\beta$ naprzeciw najkrótszego boku $b = 3$ - z twierdzenia cosinusów przekształconego na cosinus kąta:

$\cos\beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{49 + 64 - 9}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{104}{112} = \frac{13}{14} \approx 0{,}9286, \qquad \beta \approx 21{,}79^\circ.$

Krok 4. Kąt $\gamma$ z sumy kątów: $\gamma \approx 180^\circ - 60^\circ - 21{,}79^\circ = 98{,}21^\circ$. Kontrola z cosinusa:

$\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{49 + 9 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 3} = -\frac{6}{42} = -\frac{1}{7}.$

Cosinus ujemny - kąt $\gamma$ jest rozwarty, $\gamma \approx 98{,}21^\circ$. Zgadza się.

Uwaga - pułapka: gdyby liczyć $\gamma$ z twierdzenia sinusów, wyszłoby $\sin\gamma = \frac{8\sin 60^\circ}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7} \approx 0{,}9897$, a kalkulator podałby kąt ostry $81{,}79^\circ$ - błędny. Kąt naprzeciw najdłuższego boku licz z cosinusa albo z sumy kątów.

Krok 5. Pole - z dwóch danych boków i kąta między nimi:

$P = \frac{1}{2}bc\sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39.$

Odpowiedź. $a = 7$, $\beta \approx 21{,}79^\circ$, $\gamma \approx 98{,}21^\circ$ (kąt rozwarty), $P = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39$.