Rozwiąż trójkąt: a = 19, b = 16, α = 120° (kąt rozwarty naprzeciw boku)

Krok 1. Typ danych i liczba rozwiązań. Znamy dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich ($\alpha$ leży naprzeciw $a$) - dane BBK, które czasem dają dwa trójkąty. Tu nie: kąt $\alpha$ jest rozwarty, więc pozostałe dwa kąty muszą być ostre, a bok $a$ - najdłuższy. Warunek $a = 19 > b = 16$ jest spełniony, więc trójkąt istnieje i jest dokładnie jeden.

Krok 2. Trzeci bok z twierdzenia cosinusów. Piszemy twierdzenie dla boku $a$ - jedyną niewiadomą jest $c$ ($\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$):

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad 361 = 256 + c^2 - 2 \cdot 16 \cdot c \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 256 + c^2 + 16c.$

$c^2 + 16c - 105 = 0, \qquad \Delta = 256 + 420 = 676, \qquad \sqrt{\Delta} = 26.$

$c = \frac{-16 + 26}{2} = 5 \qquad\text{albo}\qquad c = \frac{-16 - 26}{2} = -21 < 0.$

Długość boku jest dodatnia, więc $c = 5$.

Krok 3. Najmniejszy kąt $\gamma$ - naprzeciw najkrótszego boku $c = 5$, z twierdzenia sinusów (kąt naprzeciw krótszego boku jest ostry, więc kalkulator poda właściwy):

$\sin\gamma = \frac{c\sin\alpha}{a} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{19} = \frac{5\sqrt{3}}{38} \approx 0{,}2279, \qquad \gamma \approx 13{,}17^\circ.$

Krok 4. Kąt $\beta$ z sumy: $\beta \approx 180^\circ - 120^\circ - 13{,}17^\circ = 46{,}83^\circ$. Kontrola: $\sin\beta = \frac{16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{19} = \frac{8\sqrt{3}}{19} \approx 0{,}7293$, a to daje $\beta \approx 46{,}83^\circ$.

Krok 5. Pole - z boków $b$, $c$ i kąta $\alpha$ między nimi:

$P = \frac{1}{2}bc\sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \approx 34{,}64.$

Uwaga: w kroku 2 twierdzenie cosinusów piszemy dla boku naprzeciw znanego kąta ($a^2 = \ldots\cos\alpha$). Wtedy niewiadoma $c$ pojawia się w równaniu kwadratowym, ale wszystko inne jest dane.

Odpowiedź. $c = 5$, $\beta \approx 46{,}83^\circ$, $\gamma \approx 13{,}17^\circ$, $P = 20\sqrt{3} \approx 34{,}64$.