Rozwiąż trójkąt o bokach 7, 8 i 13 - kąty, pole, promienie R i r

Krok 1. Typ danych. Trzy boki - dane BBB, więc kąty liczymy z twierdzenia cosinusów. Każdy kąt z cosinusa wychodzi jednoznacznie, także rozwarty.

Krok 2. Największy kąt leży naprzeciw najdłuższego boku $a = 13$:

$\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{49 + 64 - 169}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{-56}{112} = -\frac{1}{2}, \qquad \alpha = 120^\circ.$

Krok 3. Kąt $\beta$ naprzeciw boku $b = 7$:

$\cos\beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{169 + 64 - 49}{2 \cdot 13 \cdot 8} = \frac{184}{208} = \frac{23}{26} \approx 0{,}8846, \qquad \beta \approx 27{,}80^\circ.$

Krok 4. Kąt $\gamma$ z sumy: $\gamma \approx 180^\circ - 120^\circ - 27{,}80^\circ = 32{,}20^\circ$. Kontrola: $\cos\gamma = \frac{169 + 49 - 64}{2 \cdot 13 \cdot 7} = \frac{154}{182} = \frac{11}{13} \approx 0{,}8462$, co daje $\gamma \approx 32{,}20^\circ$. Zgadza się, a kolejność kątów ($27{,}80^\circ < 32{,}20^\circ < 120^\circ$) odpowiada kolejności boków ($7 < 8 < 13$).

Krok 5. Pole - z boków $b$, $c$ i kąta $\alpha$ między nimi (wartość dokładna):

$P = \frac{1}{2}bc\sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3} \approx 24{,}25.$

Krok 6. Promień okręgu opisanego - z twierdzenia sinusów dla pary $a$, $\alpha$:

$2R = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{13}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{26}{\sqrt{3}}, \qquad R = \frac{13}{\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{3}}{3} \approx 7{,}51.$

Krok 7. Promień okręgu wpisanego - z pola i obwodu $7 + 8 + 13 = 28$:

$r = \frac{2P}{a + b + c} = \frac{28\sqrt{3}}{28} = \sqrt{3} \approx 1{,}73.$

Odpowiedź. $\alpha = 120^\circ$, $\beta \approx 27{,}80^\circ$, $\gamma \approx 32{,}20^\circ$; $P = 14\sqrt{3}$, $R = \frac{13\sqrt{3}}{3}$, $r = \sqrt{3}$.