Ile rozwiązań ma równanie x³ − 4x + 1 = 0 - trzy pierwiastki z tabeli znaków

Szkoła średnia średnie

Wykaż, że równanie $x^3 - 4x + 1 = 0$ ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste. Dla każdego z nich wskaż przedział o końcach całkowitych i długości $1$ , w którym ono leży.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Ciągłość. $f(x) = x^3 - 4x + 1$ jest wielomianem, więc jest ciągła w $\mathbb{R}$ . W każdym przedziale domkniętym wolno korzystać z własności Darboux.

Krok 2. Tabela wartości. Liczymy $f$ w kolejnych liczbach całkowitych, np. $f(-3) = -27 + 12 + 1 = -14$ :

x	−3	−2	−1	0	1	2
f(x)	−14	1	4	1	−2	1
znak	−	+	+	+	−	+

Krok 3. Zmiany znaku. Znak zmienia się trzy razy:

$f(-3) \cdot f(-2) < 0$ - rozwiązanie w $(-3;\ -2)$ ;
$f(0) \cdot f(1) < 0$ - rozwiązanie w $(0;\ 1)$ ;
$f(1) \cdot f(2) < 0$ - rozwiązanie w $(1;\ 2)$ .

Przedziały są rozłączne, więc to trzy różne rozwiązania.

Krok 4. Więcej rozwiązań nie ma. Wielomian stopnia trzeciego ma co najwyżej trzy pierwiastki rzeczywiste. Znaleźliśmy trzy, więc są to wszystkie.

Wykres f(x) = x³ − 4x + 1 przecina oś x trzy razy: w przedziałach (−3; −2), (0; 1) i (1; 2).

Odpowiedź. Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania, leżące w przedziałach $(-3;\ -2)$ , $(0;\ 1)$ i $(1;\ 2)$ (w przybliżeniu $-2{,}115$ , $0{,}254$ i $1{,}861$ ).

Pułapka. Sama tabela daje tylko „co najmniej trzy”. Słowo „dokładnie” wymaga drugiego argumentu - tutaj stopnia wielomianu.

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →