Punkt przecięcia wykresów y = √(x + 2) i y = x² − 1 - istnienie i przybliżenie odciętej

Krok 1. Jedna funkcja zamiast dwóch. Wykresy mają punkt wspólny o odciętej $c$ wtedy, gdy $f(c) = g(c)$, czyli gdy zeruje się różnica

$h(x) = f(x) - g(x) = \sqrt{x + 2} - x^2 + 1$

Krok 2. Ciągłość. $\sqrt{x + 2}$ jest określona i ciągła dla $x \geq -2$ (złożenie wielomianu $x + 2$ z pierwiastkiem), a $x^2 - 1$ jest wielomianem. Różnica funkcji ciągłych jest ciągła, więc $h$ jest ciągła w $\langle -2;\ +\infty)$, w szczególności w $\langle 1;\ 2\rangle$.

Krok 3. Znaki na końcach.

$h(1) = \sqrt{3} - 1 + 1 = \sqrt{3} > 0, \qquad h(2) = \sqrt{4} - 4 + 1 = -1 < 0$

Z własności Darboux istnieje $c \in (1;\ 2)$, dla którego $h(c) = 0$, czyli $f(c) = g(c)$.

Krok 4. Pierwszy krok bisekcji. Środek przedziału to $1{,}5$:

$h(1{,}5) = \sqrt{3{,}5} - 2{,}25 + 1 \approx 1{,}8708 - 1{,}25 = 0{,}6208 > 0$

Znak zmienia się między $1{,}5$ a $2$, więc $c \in (1{,}5;\ 2)$.

Krok 5. Drugi krok bisekcji. Środek to $1{,}75$:

$h(1{,}75) = \sqrt{3{,}75} - 3{,}0625 + 1 \approx 1{,}9365 - 2{,}0625 = -0{,}1260 < 0$

Znak zmienia się między $1{,}5$ a $1{,}75$, więc $c \in (1{,}5;\ 1{,}75)$.

Odpowiedź. Wykresy przecinają się w punkcie o odciętej $c \in (1;\ 2)$, a dokładniej $c \in (1{,}5;\ 1{,}75)$ (w przybliżeniu $c \approx 1{,}711$).

Pułapka. Przed skorzystaniem z własności Darboux trzeba sprawdzić, że cały przedział $\langle 1;\ 2\rangle$ leży w dziedzinie $h$ - przy pierwiastku to warunek $x \geq -2$. Wykresy mają też drugi punkt wspólny, o ujemnej odciętej (ok. $-1{,}345$), ale on do przedziału $(1;\ 2)$ nie należy.