Zbiór, w którym funkcja sklejana z paraboli, pierwiastka i prostej jest ciągła

Krok 1. Punkty wewnątrz kawałków. $x^2 - 2x$ i $7 - x$ są wielomianami, a $\sqrt{x}$ jest ciągła w $\langle 0;\ +\infty)$. W każdym punkcie różnym od $0$ i $4$ funkcja $f$ pokrywa się w pewnym otoczeniu z jedną z tych funkcji, więc jest ciągła.

Krok 2. Punkt $x_0 = 0$.

$\lim_{x \to 0^-} (x^2 - 2x) = 0, \qquad \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0, \qquad f(0) = \sqrt{0} = 0$

Wszystkie trzy liczby są równe - $f$ jest ciągła w zerze.

Krok 3. Punkt $x_0 = 4$.

$\lim_{x \to 4^-} \sqrt{x} = 2, \qquad \lim_{x \to 4^+} (7 - x) = 3, \qquad f(4) = \sqrt{4} = 2$

Granice jednostronne są różne, więc $f$ nie jest ciągła w $4$ (skok o $1$). Wartość jest równa granicy lewostronnej - $f$ jest w punkcie $4$ lewostronnie ciągła.

Krok 4. Przedział $\langle 0;\ 4\rangle$. Wewnątrz przedziału $f$ jest ciągła, w zerze jest ciągła (więc tym bardziej prawostronnie), a w punkcie $4$ - lewostronnie ciągła. To dokładnie warunki ciągłości w przedziale domkniętym.

Odpowiedź. $f$ jest ciągła w zbiorze $\mathbb{R} \setminus \{4\} = (-\infty;\ 4) \cup (4;\ +\infty)$. Jest też ciągła w przedziale $\langle 0;\ 4\rangle$, bo na prawym końcu przedziału wystarcza ciągłość lewostronna.