Dla jakich m wielomian x³ + mx − 2 ma miejsce zerowe w (0; 1) - Darboux i szacowanie

Krok 1. Wartości na końcach. $f$ jest wielomianem, więc jest ciągła w $\langle 0;\ 1\rangle$ dla każdego $m$. Na końcach przedziału:

$f(0) = -2, \qquad f(1) = 1 + m - 2 = m - 1$

Krok 2. Przypadek $m > 1$. Wtedy $f(1) = m - 1 > 0$, a $f(0) = -2 < 0$, więc $f(0) \cdot f(1) < 0$. Z własności Darboux istnieje $c \in (0;\ 1)$, dla którego $f(c) = 0$. Każde $m > 1$ spełnia więc warunek zadania.

Krok 3. Przypadek $m \leq 1$ - Darboux tu nie pomoże. Z $f(0) \cdot f(1) \geq 0$ nie wynika, że miejsca zerowego nie ma. Trzeba to wykazać inaczej - szacując wartości funkcji. Dla $x \in (0;\ 1)$ mamy $x^3 < 1$ oraz, ponieważ $m \leq 1$ i $x > 0$, $mx \leq x < 1$. Zatem

$f(x) = x^3 + mx - 2 < 1 + 1 - 2 = 0$

Funkcja jest w całym przedziale $(0;\ 1)$ ujemna, więc nie ma w nim miejsca zerowego.

Krok 4. Przypadek graniczny $m = 1$. Wtedy $f(1) = 0$, ale $1 \notin (0;\ 1)$ - przedział jest otwarty. Zgodnie z krokiem 3 wewnątrz przedziału $f(x) < 0$, więc $m = 1$ nie spełnia warunku.

Odpowiedź. $m \in (1;\ +\infty)$.

Pułapka. Własność Darboux działa tylko w jedną stronę: różne znaki na końcach gwarantują pierwiastek, ale jednakowe znaki niczego nie wykluczają. Dlatego dla $m \leq 1$ potrzebny był osobny argument.