Metoda bisekcji - przybliżenie pierwiastka x³ − 2x − 2 = 0 z dokładnością do 0,1

Krok 1. Istnienie rozwiązania. $f(x) = x^3 - 2x - 2$ jest wielomianem, więc jest ciągła w $\langle 1;\ 2\rangle$. Wartości na końcach:

$f(1) = 1 - 2 - 2 = -3 < 0, \qquad f(2) = 8 - 4 - 2 = 2 > 0$

Z własności Darboux istnieje rozwiązanie w $(1;\ 2)$.

Krok 2. Ile kroków potrzeba. Każdy krok bisekcji połowi przedział, więc po $n$ krokach ma on długość $\frac{1}{2^n}$. Warunek $\frac{1}{2^n} < 0{,}1$ oznacza $2^n > 10$, czyli $n \geq 4$ ($\frac{1}{16} = 0{,}0625$).

Krok 3. Bisekcja. W każdym kroku liczymy $f$ w środku $m$ przedziału i zostawiamy tę połowę, na której końcach $f$ ma różne znaki (wartości zaokrąglone do czterech miejsc po przecinku):

Przykładowy rachunek z kroku 2: $f(1{,}75) = 5{,}359375 - 3{,}5 - 2 = -0{,}140625 < 0$, a $f(2) > 0$, więc pierwiastek leży w prawej połowie $(1{,}75;\ 2)$.

Krok 4. Oszacowanie. Pierwiastek leży w $(1{,}75;\ 1{,}8125)$, przedziale o długości $0{,}0625$. Środek tego przedziału, $1{,}78125$, różni się od pierwiastka o mniej niż połowę długości, czyli mniej niż $0{,}032$.

Odpowiedź. Rozwiązanie leży w przedziale $(1{,}75;\ 1{,}8125)$; w przybliżeniu $x \approx 1{,}78$ (dokładniej $1{,}7693\ldots$).