Równanie x⁴ − 3x − 5 = 0 ma rozwiązanie w przedziale (1; 2) - uzasadnienie z własności Darboux

Krok 1. Funkcja i jej ciągłość. Niech $f(x) = x^4 - 3x - 5$. To wielomian, więc $f$ jest ciągła w $\mathbb{R}$, w szczególności w przedziale $\langle 1;\ 2\rangle$.

Krok 2. Wartości na końcach przedziału.

$f(1) = 1 - 3 - 5 = -7, \qquad f(2) = 16 - 6 - 5 = 5$

Krok 3. Różne znaki. $f(1) \cdot f(2) = -7 \cdot 5 = -35 < 0$, więc wartości na końcach mają różne znaki, a liczba $0$ leży między nimi.

Krok 4. Własność Darboux. Funkcja ciągła w $\langle 1;\ 2\rangle$ przyjmuje każdą wartość pośrednią między $f(1)$ a $f(2)$, więc także wartość $0$: istnieje $c \in (1;\ 2)$, dla którego $f(c) = 0$.

Odpowiedź. Równanie ma rozwiązanie w przedziale $(1;\ 2)$, bo $f$ jest ciągła w $\langle 1;\ 2\rangle$ i $f(1) \cdot f(2) < 0$. (Rozwiązanie to w przybliżeniu $1{,}795$.)

Uwaga. Takie uzasadnienie składa się zawsze z dwóch elementów: ciągłości w całym przedziale domkniętym i różnych znaków na końcach. Pominięcie pierwszego to częsty błąd - bez niego wniosek bywa fałszywy.