Ciągłość funkcji wymiernej (x + 1)/(x² − 4) w dziedzinie i w przedziałach

Krok 1. Dziedzina. Mianownik nie może być zerem: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \neq 0$, czyli $x \neq 2$ i $x \neq -2$. Zatem $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}$.

Krok 2. Ciągłość w dziedzinie. Licznik $x + 1$ i mianownik $x^2 - 4$ są wielomianami, więc są ciągłe w $\mathbb{R}$. Iloraz funkcji ciągłych jest ciągły w każdym punkcie, w którym mianownik jest różny od zera - czyli w każdym punkcie dziedziny.

O punktach $-2$ i $2$ nie mówimy, że są punktami nieciągłości - funkcja w ogóle nie jest w nich określona.

Krok 3. Przedział $\langle -1;\ 1\rangle$. Cały przedział leży w dziedzinie (nie zawiera ani $-2$, ani $2$), a $f$ jest ciągła w każdym punkcie dziedziny. Zatem $f$ jest ciągła w $\langle -1;\ 1\rangle$.

Krok 4. Przedział $\langle 0;\ 3\rangle$. Przedział zawiera liczbę $2$, w której $f$ nie jest określona. Funkcja nie może być ciągła w zbiorze, który nie mieści się w jej dziedzinie.

Odpowiedź. a) $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}$; $f$ jest ciągła w całej dziedzinie, bo jest ilorazem wielomianów. b) W $\langle -1;\ 1\rangle$ - tak; w $\langle 0;\ 3\rangle$ - nie, bo $2 \in \langle 0;\ 3\rangle$ nie należy do dziedziny.