Schemat Hornera z brakującą potęgą: x⁴ + 3x³ − 4x + 5 przez x + 2

Krok 1. Liczba $a$ ma znak przeciwny niż w dwumianie. Zapisujemy $x + 2 = x - (-2)$, więc w schemacie bierzemy $a = -2$.

Krok 2. Uzupełniamy brakującą potęgę. W wielomianie nie ma składnika z $x^2$, więc w jego miejsce wpisujemy współczynnik $0$. Współczynniki: $1,\ 3,\ 0,\ -4,\ 5$.

Krok 3. Schemat:

Kolejno: $1$; $\ 3 + (-2) \cdot 1 = 1$; $\ 0 + (-2) \cdot 1 = -2$; $\ -4 + (-2) \cdot (-2) = 0$; $\ 5 + (-2) \cdot 0 = 5$.

Krok 4. Odczytujemy wynik. Przed resztą stoją cztery liczby $1,\ 1,\ -2,\ 0$, więc iloraz ma stopień $3$, a jego wyraz wolny jest zerem:

$Q(x) = x^3 + x^2 - 2x, \qquad r = 5.$

Krok 5. Sprawdzenie. Reszta z dzielenia przez $x + 2$ musi być równa $W(-2)$:

$W(-2) = 16 + 3 \cdot (-8) - 4 \cdot (-2) + 5 = 16 - 24 + 8 + 5 = 5.$

Uwaga: pominięcie zera za $x^2$ to najczęstszy błąd w tym zadaniu. Schemat liczyłby wtedy wielomian $x^3 + 3x^2 - 4x + 5$, a nie $W$.

Odpowiedź. $Q(x) = x^3 + x^2 - 2x$, $r = 5$, czyli $x^4 + 3x^3 - 4x + 5 = (x + 2)(x^3 + x^2 - 2x) + 5$.