Reszta z dzielenia przez x² + x − 6, gdy W(2) = 1 i W(−3) = −14

Krok 1. Rozkładamy dzielnik. Trójmian $x^2 + x - 6$ ma pierwiastki $2$ i $-3$ ($\Delta = 1 + 24 = 25$), więc

$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3).$

To dokładnie te dwumiany, o których mówi treść zadania.

Krok 2. Postać reszty. Dzielnik ma stopień $2$, więc reszta ma stopień co najwyżej $1$ - zapisujemy ją jako $px + q$:

$W(x) = (x - 2)(x + 3) \cdot Q(x) + px + q.$

Uwaga: reszty nie wolno zapisać jako jednej liczby $r$. Przy dzielniku stopnia $2$ reszta może zawierać $x$.

Krok 3. Podstawiamy pierwiastki dzielnika. Dla $x = 2$ i $x = -3$ pierwszy składnik się zeruje. Z twierdzenia o reszcie $W(2) = 1$ i $W(-3) = -14$, więc

$W(2) = 2p + q = 1, \qquad W(-3) = -3p + q = -14.$

Krok 4. Rozwiązujemy układ. Odejmujemy drugie równanie od pierwszego:

$5p = 15 \quad\Longrightarrow\quad p = 3, \qquad q = 1 - 2p = -5.$

Krok 5. Sprawdzenie na przykładzie. Warunki zadania spełnia np. wielomian $W(x) = x^3 + x^2 - 3x - 5$: $\ W(2) = 8 + 4 - 6 - 5 = 1$ i $W(-3) = -27 + 9 + 9 - 5 = -14$. Rzeczywiście

$x^3 + x^2 - 3x - 5 = (x^2 + x - 6) \cdot x + 3x - 5,$

czyli reszta z dzielenia tego wielomianu przez $x^2 + x - 6$ to $3x - 5$. Inny wielomian o tych samych dwóch resztach da inny iloraz, ale tę samą resztę - wyznaczają ją jednoznacznie liczby $W(2)$ i $W(-3)$.

Odpowiedź. Reszta z dzielenia $W(x)$ przez $x^2 + x - 6$ to $R(x) = 3x - 5$.