Dwa parametry: x³ + ax² + bx + 3 podzielny przez x + 1, reszta przez x − 2 równa 21

Krok 1. Warunek podzielności. Z twierdzenia Bézouta podzielność przez $x + 1 = x - (-1)$ oznacza $W(-1) = 0$:

$W(-1) = -1 + a - b + 3 = a - b + 2 = 0.$

Krok 2. Warunek na resztę. Z twierdzenia o reszcie reszta z dzielenia przez $x - 2$ to $W(2)$:

$W(2) = 8 + 4a + 2b + 3 = 4a + 2b + 11 = 21.$

Krok 3. Układ równań. Porządkujemy oba warunki (drugi dzielimy przez $2$):

$\begin{cases} a - b = -2 \\ 2a + b = 5 \end{cases}$

Dodajemy równania stronami: $3a = 3$, więc $a = 1$, a stąd $b = a + 2 = 3$.

Krok 4. Sprawdzenie. Dla $a = 1$, $b = 3$ mamy $W(x) = x^3 + x^2 + 3x + 3$ oraz

$W(-1) = -1 + 1 - 3 + 3 = 0, \qquad W(2) = 8 + 4 + 6 + 3 = 21.$

Krok 5. Rozkład. Dzielimy przez $x + 1$ schematem Hornera z $a = -1$ (tu $a$ oznacza liczbę w schemacie, nie parametr):

Iloraz to $x^2 + 3$, który nie ma pierwiastków (jest zawsze dodatni), więc dalej się nie rozkłada:

$W(x) = (x + 1)(x^2 + 3).$

Odpowiedź. $a = 1$, $b = 3$, a $W(x) = x^3 + x^2 + 3x + 3 = (x + 1)(x^2 + 3)$.