Dzielenie przez 2x − 1 schematem Hornera: 4x³ + 4x² − 3x + 5

Krok 1. Sprowadzamy dzielnik do postaci $x - a$. Schemat Hornera wymaga współczynnika $1$ przy $x$, więc wyłączamy $2$:

$2x - 1 = 2\left(x - \tfrac{1}{2}\right).$

Najpierw dzielimy przez $x - \frac{1}{2}$, czyli liczymy schemat z $a = \frac{1}{2}$.

Krok 2. Schemat z $a = \frac{1}{2}$:

Kolejno: $4$; $\ 4 + \frac{1}{2} \cdot 4 = 6$; $\ -3 + \frac{1}{2} \cdot 6 = 0$; $\ 5 + \frac{1}{2} \cdot 0 = 5$. Zatem

$W(x) = \left(x - \tfrac{1}{2}\right)(4x^2 + 6x) + 5.$

Krok 3. Przenosimy dwójkę do dzielnika. Z ilorazu wyłączamy $2$ i łączymy ją z nawiasem $\left(x - \frac{1}{2}\right)$:

$W(x) = \left(x - \tfrac{1}{2}\right) \cdot 2\,(2x^2 + 3x) + 5 = (2x - 1)(2x^2 + 3x) + 5.$

Uwaga: przez $2$ dzielimy tylko iloraz. Reszta zostaje równa $5$ - nie jest to $\frac{5}{2}$.

Krok 4. Sprawdzenie.

$(2x - 1)(2x^2 + 3x) + 5 = 4x^3 + 6x^2 - 2x^2 - 3x + 5 = 4x^3 + 4x^2 - 3x + 5.$

Zgadza się też twierdzenie o reszcie: $W\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + 1 - \frac{3}{2} + 5 = 5$.

Odpowiedź. $Q(x) = 2x^2 + 3x$, $r = 5$, czyli $4x^3 + 4x^2 - 3x + 5 = (2x - 1)(2x^2 + 3x) + 5$.