Parametr z podzielności: x³ + (m − 1)x² − m²x + 2 podzielny przez x − 1

Szkoła średnia średnie

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których wielomian

$W(x) = x^3 + (m - 1)x^2 - m^2 x + 2$

jest podzielny przez dwumian $x - 1$ . Dla każdej znalezionej wartości $m$ podaj iloraz z dzielenia $W(x)$ przez $x - 1$ .

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Twierdzenie Bézouta. Wielomian jest podzielny przez $x - 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $W(1) = 0$ . Podstawiamy $x = 1$ :

$W(1) = 1 + (m - 1) - m^2 + 2 = -m^2 + m + 2.$

Krok 2. Rozwiązujemy równanie z parametrem.

$-m^2 + m + 2 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad m^2 - m - 2 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (m - 2)(m + 1) = 0.$

Stąd $m = 2$ albo $m = -1$ . Parametr stoi w kwadracie, więc nie dziwi, że wartości są dwie.

Krok 3. Przypadek $m = 2$ . Wtedy $W(x) = x^3 + x^2 - 4x + 2$ . Schemat Hornera z $a = 1$ :

	x³	x²	x	wyraz wolny
W(x)	1	1	−4	2
a = 1	1	2	−2	0

Reszta wynosi $0$ , iloraz to $x^2 + 2x - 2$ .

Krok 4. Przypadek $m = -1$ . Wtedy $m - 1 = -2$ i $m^2 = 1$ , więc $W(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ :

	x³	x²	x	wyraz wolny
W(x)	1	−2	−1	2
a = 1	1	−1	−2	0

Iloraz to $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ , więc w tym przypadku $W(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 1)$ .

Uwaga: przy $m = -1$ łatwo pomylić się w znaku. Współczynnik przy $x$ to $-m^2 = -1$ , a nie $+1$ - kwadrat parametru jest dodatni, minus stoi przed nim.

Odpowiedź. $m = 2$ (iloraz $x^2 + 2x - 2$ ) albo $m = -1$ (iloraz $x^2 - x - 2$ ).

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →