Reszta z dzielenia bez dzielenia: x⁶ − 2x⁵ + 3x² − x + 4 przez x − 2 i x + 1

Krok 1. Twierdzenie o reszcie. Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $x - a$ jest równa $W(a)$. Wystarczy więc obliczyć dwie wartości wielomianu.

Krok 2. Reszta z dzielenia przez $x - 2$ to $W(2)$:

$W(2) = 2^6 - 2 \cdot 2^5 + 3 \cdot 2^2 - 2 + 4 = 64 - 64 + 12 - 2 + 4 = 14.$

Krok 3. Reszta z dzielenia przez $x + 1$. Dwumian $x + 1$ to $x - (-1)$, więc reszta to $W(-1)$. Parzyste potęgi liczby $-1$ dają $1$, nieparzyste $-1$:

$W(-1) = 1 - 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 - (-1) + 4 = 1 + 2 + 3 + 1 + 4 = 11.$

Uwaga: reszta z dzielenia przez $x + 1$ to $W(-1)$, a nie $W(1)$ - to najczęstsza pomyłka.

Krok 4. Podzielność. Z twierdzenia Bézouta wielomian jest podzielny przez $x - a$ dokładnie wtedy, gdy $W(a) = 0$. Obie reszty są różne od zera, więc $W$ nie jest podzielny ani przez $x - 2$, ani przez $x + 1$.

Odpowiedź. a) Reszta wynosi $14$. b) Reszta wynosi $11$. Wielomian nie jest podzielny przez żaden z tych dwumianów.