Parametr m w punkcie x₀ = −3 - granica (x³ + 27)/(x + 3) ze wzoru na sumę sześcianów

Krok 1. Warunek ciągłości. Wartość w punkcie to $f(-3) = m$. Funkcja jest ciągła w $-3$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim\limits_{x \to -3} f(x) = m$. Trzeba więc policzyć granicę.

Krok 2. Symbol 0/0. Dla $x = -3$ licznik to $-27 + 27 = 0$ i mianownik też jest zerem. Licznik to suma sześcianów $x^3 + 3^3$, więc rozkładamy go wzorem $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

Krok 3. Granica. Dla $x \neq -3$ skracamy czynnik $(x + 3)$, a potem podstawiamy:

$\lim_{x \to -3} \frac{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}{x + 3} = \lim_{x \to -3} (x^2 - 3x + 9) = 9 + 9 + 9 = 27$

Krok 4. Parametr. Z warunku ciągłości $m = 27$. Dla każdego innego $m$ granica nadal wynosi $27$, ale wartość jest inna - funkcja ma wtedy w $-3$ nieciągłość usuwalną.

Odpowiedź. $m = 27$.

Zamiast wzoru na sumę sześcianów można podzielić $x^3 + 27$ przez $(x + 3)$schematem Hornera - wynik jest ten sam.