Dwa parametry a i b w funkcji z trzech kawałków - układ równań z warunków ciągłości

Krok 1. Punkty do zbadania. Przy ustalonych $a$ i $b$ każdy kawałek jest wielomianem, więc funkcja jest ciągła wszędzie poza punktami sklejenia $-1$ i $2$. Każdy z nich da jedno równanie.

Krok 2. Punkt $x_0 = -1$. Granica lewostronna (wzór $x + a$): $\lim\limits_{x \to -1^-} (x + a) = a - 1$. Punkt $-1$ należy do środkowego kawałka, więc granica prawostronna i wartość to

$f(-1) = (-1)^2 + b \cdot (-1) = 1 - b$

Warunek ciągłości: $a - 1 = 1 - b$, czyli $a + b = 2$.

Krok 3. Punkt $x_0 = 2$. Punkt $2$ należy do środkowego kawałka: granica lewostronna i wartość to $f(2) = 4 + 2b$. Granica prawostronna (wzór $ax - 4$): $\lim\limits_{x \to 2^+} (ax - 4) = 2a - 4$. Warunek: $4 + 2b = 2a - 4$, czyli $a - b = 4$.

Krok 4. Układ równań.

$\begin{cases} a + b = 2 \\ a - b = 4 \end{cases}$

Dodając stronami: $2a = 6$, więc $a = 3$, a stąd $b = 2 - 3 = -1$.

Krok 5. Sprawdzenie. Dla $a = 3$, $b = -1$:

• w punkcie $-1$: $-1 + 3 = 2$ oraz $1 + 1 = 2$;
• w punkcie $2$: $4 - 2 = 2$ oraz $6 - 4 = 2$.

Odpowiedź. $a = 3$, $b = -1$.

Pułapka. Parametr $a$ występuje w dwóch kawałkach, więc warunków nie da się rozwiązać osobno - dopiero układ równań daje jedyną parę $(a, b)$.