Ciągłość funkcji sklejanej z paraboli i prostej w punkcie x₀ = 1

Krok 1. Co trzeba sprawdzić. Funkcja jest ciągła w $x_0 = 1$, gdy granica lewostronna, granica prawostronna i wartość $f(1)$ są tą samą liczbą. Każdy kawałek jest wielomianem, więc granicę jednostronną liczymy, podstawiając $x_0$ do odpowiedniego wzoru.

Krok 2. Granica lewostronna. Na lewo od $1$ obowiązuje wzór $x^2 + 1$:

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 1 + 1 = 2$

Krok 3. Granica prawostronna. Na prawo od $1$ obowiązuje wzór $3x - 1$:

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3x - 1) = 3 - 1 = 2$

Krok 4. Wartość. Liczba $1$ spełnia warunek $x \leq 1$, więc $f(1) = 1^2 + 1 = 2$.

Krok 5. Porównanie. $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2$.

Odpowiedź. Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0 = 1$. Poza tym punktem oba kawałki są wielomianami, więc $f$ jest ciągła w całym $\mathbb{R}$.