Część całkowita razy funkcja liniowa - parametr a i punkty nieciągłości f(x) = ⌊x⌋(x − a)

Krok 1. Jak zachowuje się część całkowita przy liczbie całkowitej $n$. Tuż na lewo od $n$ (dla $x \in \langle n - 1;\ n)$) mamy $\lfloor x \rfloor = n - 1$, a od $n$ w prawo (dla $x \in \langle n;\ n + 1)$) mamy $\lfloor x \rfloor = n$. Zatem na każdym takim przedziale $f$ jest funkcją liniową, a w punkcie $n$:

$\lim_{x \to n^-} f(x) = (n - 1)(n - a), \qquad \lim_{x \to n^+} f(x) = n(n - a) = f(n)$

Granica prawostronna jest zawsze równa wartości - funkcja jest prawostronnie ciągła w każdym punkcie.

Krok 2. Część a): punkt $x_0 = 2$. Podstawiamy $n = 2$:

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1 \cdot (2 - a) = 2 - a, \qquad \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 2(2 - a)$

Warunek ciągłości: $2 - a = 2(2 - a)$, czyli $2 - a = 0$, więc $a = 2$.

Krok 3. Część b): punkty niecałkowite. Dla $x$ niecałkowitego część całkowita jest stała w pewnym otoczeniu $x$, więc $f$ jest tam funkcją liniową - ciągłą.

Krok 4. Część b): punkty całkowite. Dla $a = 2$ różnica granic jednostronnych w punkcie całkowitym $n$ wynosi

$n(n - 2) - (n - 1)(n - 2) = (n - 2)\big(n - (n - 1)\big) = n - 2$

Jest równa zeru tylko dla $n = 2$. W każdej innej liczbie całkowitej granice jednostronne są różne (skok o $|n - 2|$). Na przykład w punkcie $1$: granica lewostronna $0 \cdot (1 - 2) = 0$, prawostronna $1 \cdot (1 - 2) = -1$.

Odpowiedź. a) $a = 2$. b) Dla $a = 2$ funkcja nie jest ciągła w każdej liczbie całkowitej różnej od $2$, czyli w zbiorze $\mathbb{Z} \setminus \{2\}$; we wszystkich pozostałych punktach jest ciągła.

Pułapka. Czynnik $(x - a)$ „gasi” skok części całkowitej tylko tam, gdzie sam jest zerem. Dlatego ciągłość udaje się uzyskać w jednym punkcie całkowitym, a nie we wszystkich naraz.